მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2

Transcript

1 მათემატიკა ეკონომიკისა და ბიზნესისათვის, 1&2 თამაზ ზერეკიძის (მიმართულების ხელმძღვანელი) კონსპექტი ამ ელექტრონულ ვერსიას აქვს "ელექტრონული სარჩევი" (მარცხენა პანელი). კონსპექტი ძალზე შეკუმშულია და შეიცავს აუცილებელ მასალას, (ორივე სემესტრისათვის). ამ საგნის ყველა ლექტორის ლექციებზე და პრაქტიკულ მეცადინეობებზე მასალა გადმოიცემა სილაბუსის თანმიმდევრობით (იხ. ცალკე). საჭიროა ლექციებზე და პრაქტიკული მეცადინეობზე ჩანაწერების რეგულარულად კეთება. საგნის შესწავლა უნდა მოხდეს ამ ჩანაწერებით, კონსპექტებით და იმ ლიტერატურით, რომელიც სილაბუსშია მითითებული. მათთან ერთად სასარგებლო იქნება, პარალელურ ნაკადებს და ჯგუფებში, სხვა კოლეგების მიერ შედგენილი კონსპექტებითაც სარგებლობა, ასევე ნებისმიერი წიგნით უმაღლეს მათემატიკაში, ნებისმიერ მისაწვდომ ენაზე უამრავი სასარგებლო მასალაა ინტერნეტში. პრაქტიკულ მეცადინეობებზეც შეიძლება თეორიული მასალის შესახებაც კითხვების დასმა პედაგოგისადმი, თუ ისინი მაშინ მიმდინარე პრაქტიკულ საკითხებთანაა უშუალოდ კავშირში ისინი გიპასუხებენ, თუ დრო ამის საშუალებას მისცემს მას პრაქტიკუმის მსვლელობისას. საერთოდ კათედრაზე (აუდ. 604) რეგულარულად ჩატარდება კონსულტაციები; იქ მორიგე პროფესორს დაუსვამთ ნებისმიერ შეკითხვას. დაუსვით შეკითხვები თქვენს ამხანაგებს ჩვეულებრივ ეს სასარგებლოა მათთვისაც. სემესტრის განმავლობაში ჩატარდება საკონტროლოები და შუალედური გამოცდა (დეტალები სილაბუსშია). იქ დაკარგულ ქულებს ვერ აღადგენთ! ამიტომ იყავით მუდმივად მობილიზებული... თ. ზერეკიძის ამ კონსპექტის ეს შესავალი გვერდი და კონსპექტის ელექტრონული გაწყობა შეასრულა ნიკო გუნიამ.

2 1 L!l.rt!hnU'n, /J.nlhnutiJ.r hsb:don, m:!.jh.ru'nj?jn 8JJ!hnJr.:/J'b:; 2.fh(}J~'!Jmhm3s6n O'bhn(!l'lnf.J nsbntn re.jf!!'.rai(;'!fc!.?'.jf!".jj.j5!m.s!jnjhj3f.!!.'jl 8J!fhnU'n ~~.JdJ. c7.flfhnll'b, hmje:nnjj btfhn :fmlifotjij h.rmt!>.jljm2jj.> In, lj3:jji.jon!j hjmt!'.jbmi3j ~n n,.jiiln~.:i3j!tjxn hnon!j o.5t/hnjj'n o.rtfhnil'nb nb :Jf!!l.JJJ/itfn '!Jmd.Je!'nil' nd.!jm ~.JdJ L- :Yhn b!fnn:fm nb.r IYJ j -:Yhn IJ!J.Jtln!J /3J'~.f33:JfJJ.f6J ~3.J!JI!."Jahn3 a ij -om Jt!'nb'flao.foJ djp!vbj~jjj, lnx/1 hnanl a.jj:fhnj!};..r:l3b l.j.rbj A aft af1 (krfh) = 021_ ~Zl _.. _. (l~ h. ( am., am2.. - rimn. (/'}'j In= n, JJ2Jn5 d.r!phnjyb.d3.tf!jhjj!:jt!!ln Jt'mtPJdJ. j3.ff!jhstf!jf!!' ctflfhnll't 2.JJ~hnJ dtnj!jjhn ~,s.jh JJ 01J3uh n rpn.jzjmo.s(!!l.i?jn : A Lltn.r3shn!l.nfhmtb.J~m~:i3J ~njamgji!!''ffhn., {h'j cjnbn JJ:Jf!!'.s Jf!:lJJJlJJPn,Bslu~.; JmJ3Jn {!'fj.56rrmc (/;j J.Jmo/JJtJfl/;J, o'!jc!!'flb tpmt!!'nj t!jn.ram/j.ft!":jhn d.;j:phnlfn tjjndf!!':i{3j.sb:j -/{sno.jhmb nljm ~nsi3mb's~'t111 J.rt!hr11rL, hmjf!!lnl t:ftnsjsh 81Ji3rr Jt!!'fJJ Clt??JmC/11 tljnfljm.j':jcyj Jt!'!'Jd.JIJJ!n 1-nL!Pmt!!'nJ, :1 hijj:j 'tl~m3.ro n J.n!hmm JGme.iaJ.. :ilmj::jf!!'m3..r!i JJJfn()Jl'L E..rtmou'> ( f 1 0 ) E = A JJJ/hnlfn Jni.J blphn:/m[jjt f!j.r3lf.1htn!jj.jj!id.je ' b3jj:i.1'3b jn bji!jnjmliid.jtp A J.nflmlfflt lfllu6b- was5 ' UJ'!I A ;J.rlf'hruJ'nu IPh.JDbJm6nh.JlJ'!It!!'n Jbmf!J.1dJ nl.j.jtn 3J.tf'hn11't, hm<l.jt!"nll JM~.Jd.J, i r~j

3 a,/tj a2 n. am/1 JIJ m6.. mhn hnont 1Jvh(J)J':J(!)bm.3.;hn d.;-!flmll'jdnt tjan J.Jonb.I!Je?iJJo<> 'lj.jd(pjan!prnc!"'m2jn 01 ( ~~1 : : C!!n) +-(~~t: _- ~~n ).:: (qu~b'! : Cfm.+~ln ) Cim1 amn Bm-~ Bm" ~/Bm1 t1mn +gmn ; /J.JJ!hrwN.J An!fb?/6J osjil.jjf!!lfl J.JOnb/!Jf!'Jh:iJJ JlJ: K ( Cf 1! : : ~~f ) = ( ~ 0 1!' :! Cftn ) fjm1 Omn k atn/ -Katnh. d.rl!m!y.jdnl IJb3.frMv A -/3 'J.Ja!Jndl!!'fl.J JJ53i.JJgt!!3hm(l) hmamll!y A+ {-I) B 307dJ.J(JJ ' A shnl lfj X h nnanl JJti/Jnlfn ' 8 j{) n X K hndnb. OJJIIJ3f!!'!J A. B ~JOn JJ.fh~?Jh:i2JJ hm8rnlllf ntj(j)fj In x K llnanl C <1J!Phn1Yn, hrncjc!o/jl C ij Jt!.".JJ.2ot1nl J.JJmuc.~()?- 3f!!'Jf!!l.f& A JsiPhtlJYnL i -':Jhn i.jj!hnim "nt Jt!:'JJ.JEJi.J?Jn ':Ja(!.f ~.JJ.JdllJ3etndJ 8 dj.t:fijnlfn~. J -'!Jhn L/3JtPnu ljjbj3.jjnl Jt!:r'Jcl:Jo!P.JJflv f!j.j Jnt!'.J~t!!'n IJJtlltJJt!!'.J2r1 fj.j:mhndmt/1. J.f7. Cij = (li1 Bu + ai2b2j +. t alh Bn j. ~3nf!!ln B.JbsJ~oJJnJ, hmj A E = E A =A 2J.J36n3/Jm(J) ~Jk.; JJnLU, hmj J.nPhnifJi3nL 'll.j!jiddnlj e s Bs3h.r3cJonL mijh.jiffi.jan/.1!11jnl I!W.f':J(!"'n.5!f3.J(!!IJ nb dnhnm.j& n 2JIJm/Jn, h.sl!' hntrh3j3nl 2/.JJh.J"dntJ (!J.f i3jdhj3f!".ijnl mf:jh.jil'nj'jnbmjjnl, a.jht!j.j a.j2h.j3l!!'jonl /JI)iJ.rh m 3JtP.J5.JL!'Jf!!'.ic.r(!lm(}ni.J j.r[monw, :J-n li.j'bma.rtpm~ A 8 :1= l3 A. ~JJf.JhJn5s5if'fl as6nu.l6~3hioj :Jbmt!Y't1112 :J3.rtPh.uP!!!f!!'n djjfhnl.f'.iontmjnt CP.r njn.rhnl JJ 8sJfhn/YnL Jf!!'J/IJEt!J?Jnu b.j2~.rf!!'jorj(ji :1.Jh1?JJ!:Jf!!Yl b.?lnfij ~:Jt!'a:Jbnt!!'fl m n J.rb3n. A Jsffhn!Yr>u f!'jlf:jhdn5.j6jffl.jhm-.jhom 'J:KkP.JJn bnji3mi!!vtlom St!!IJM'llofo.;: det (A) ' I A I. ~.J!PJhJnasotffJb a.jobjfl~jhnt 3tf6/1Jm Gh.JU5:Jh d:j2m3nf!'m(jj a.f&jot51f3t!!'j"jfj!.jj t!'j Jntn f!"'jg'- j.j6 JitriJ!i.JOtll l!'ojo.j?jn. inh?j.ji!!'n h. &Jf:Jh.Jf!!'jhn hnlfhjnl.jj.jb' 'd.jt!a.jbnt!!'n aj ~.J 6.Jlf.J t!!':ja.j :Jom~ Jd.) nljm tp st.!!'.j8jd!1t!!'!jnahjj t!:' JI.J, hmojf!!'lllj' (I, 2.,, n J tn 3hsJ(!!Inu.Ja.so :J.Jndf!!'.J a J?Js6bb3s3~JtJme2.:;b Jbmt!"mt!'.Jf!"JJ.Jc/P/I)o te.jf!"ja:ijnl hnanm. 3mP:t3n{J), hmj ase.jmd'j~.j?j.f:fn mhn.jt!":jj.j6!1n d:jnnl n 6.3!1 h bn Jb, lh'1 LPn<Pn Jt!"J/J:J5tPfl '1"3hfll on5 tpj.jl 3ntPh.J,i.nlshJ. ijjip.jmjf3an:ia.ri.j.jc'me!>.j?jj!> :J o Jln, (/}~ JoJ./Jn nojjhuncji!i.> hcjmf!>.jotnoj ~:Jo!PI>.J ' bnt!!'m Gn6.JJ(!'Jt!!.JlJ ChdffJ637~JfJIJ :J/ifYI(!J.JcJ t!!'':ld'n. J.raJ"c:nmJ~E, t3.jejojff3(!!j.jij.j (~, /1 2) :J.JoJih.J, ~JJo 3ub~ 17b3.Jh-

4 bnsi.j ddenj/i 2 tpj 1,!Jmf!!lm a.fl!j.rwlf3~.joj ( 2., 3, 1) (!YI'!J!f'fJJ., AJt!'as6JJY a.rb'jn a3s:/?jl mhn n63ahwu, lvncjt!!'.idwif :/J6nu6 2 f!l.j i, 3 tpj 1. o.r~!jnon(!!'tnm ft -~hn hnanl j:j~ijj tp!!k!!y1 /J.rJPhrul'n A = a-fl a,2... am ~2~ a~2 :.a2~ (1,11 an2... Clnn o.f~3nbn(!!'m0l cjj LJ.sJ:fnNfn[; Jf!!'Jd.Jo!P.Jon!.JJJJb 7/.J~(j:J/)n(!!'{)!J3:Jf!!'.f nt-:jt!jf) bjjhu?jt!!'/11 hmjf!!'.fabs11.j::/~(f) 'd.j2&.jan mhfl mjnu.:i2jj ; J) mnmtn.j~i!!' /)jcjijj3t!!'f!lfl.jhnu 16':1/.JJI.rt!J n-lfjt!!'n di.jejj3.jj/j.j3c!'n, 2) m/joj!yj.j~f!.y' ojdj3r:!'f1n Jm6J&lf!!':;m"2u!J;'::!b!fvf!J.JAm,r; 07.JcJ3.5JhJ3e:fln.Jm3:Jt!!'n i.jj!iw:/m.fn~.j!j IPs IJJ':JiJi/Jt!' :ivf>ll m.r.jc7jdllj3t!!'n :Jm3.JC!!'f) li3:j.tftle.jo.r~jnt!!'n?l.jljjji[.j3nj, nma.jb.jiijn osd/jj3f!!l.fjn JAl.i3maJ6' mnmm.j!jf!!l JtJQ) ojdllujc:'fin fp.r3jl!!'jdmm mj6jj.jjiij3~.:iofl.ina3.jt!!'fl IJ[tY.JdLJanL 'hhrenl Jnb:Je3n(f)? :J.n. on31y..jtn tjh.j; GJj a 2 J a 11 aj[3nhnt!!'mtfl 1 2 Un (}JrnhJ nbt.p:;dbj"dnljej5 '!J.:Jf!Jd:Jbnf!!'() 2JJ't!'sbJlJ'3t!!'.J3J (j 1,j 2..,, j,,). 11J'2 Jt OJIEcJbJU'Je'.J0.5 f!t:jg'nj, JJ b.jij!lj?jf!!'/; te.jj':!c'jjmd'> &>'iluhn,, +-''~ & J3:Jd'.Jhmm 6n8son,, - ~~ /Jm(!!'m 1/J::J j.jclfll ' 6sJJ.J3(/.; :J.stPhntlnu l!':jji':jhano<~gifn :~!imt?:i3j!13.jf!!'.j Ji.J:Jtnn 5sCJhJ3f!7'.JonL 'D.JJL,I.JJtPJif {f)flojmj'!/(!!lfl oj.jnj3(!!lfj.j(!}'22j':jf!!ln.j {!].J3()/.;f)3J 5n116nm. J.Jh.;J.J hnanb tp.j tp:jhjnli.j!iji'.ion lpj J.rmn.as Jrnm3(!!1n/; b.jhb.jdn /hmh1 hn?j!il f!l.jtp:jh8nli.jlijfb J:/3/.; /JJbJ I au a/2 az1 a:l2. :Jni.Jn 1f!!l:JJ-J6t:PJ2Jni../2J.r6 ':J.Jnd(!!I:Jdc.> 'J.Jf!>2J:JiJ flj.j<lmmj~ii.jhflf!!'n OJ?Jnt:;a:ianL!J:Jmb:J mhn OJ:Jh.J3t!!'D ; (Lf-1 ~2 I?J a/2 ~./.- Jnn?J.Jf!!!f) fjfite.j:ft:f3fj ':Jj3J /!?Jf!!'Sd.J6:Jf!!'f1.J 'Mt!!fJ!J 2nb:JtP3ntn. 2J.JlJ3nhnf!!'mtJJ J.Jmh:J n&p.jdt!j"jnlj.3jij 2J.J@i3:Jbnf!!'fl ~JfP.Jb.Jlf3f!!'Jt3:ii311: ( f,2) (!JJ ( 2, 1J inh?j:jt!!'n djoj2jjofl an!yc'ncj, d.jmh.j 3n!J:J6tf>n, JdruPmJ Jnh3J(!!I!iJ3h.r3t!!'t.1.d6fa.; afl'o.jon '7 + rr, a.2ma.ju :Jn - fin~.;en, - ~. Jdnt!mJ I all ~121 a.1/ a a ~ 1 a 22 == u (JJ :Ji.J.;a:J hn3nu te.jlf.jhdncjej tfu J.:f.3u ujb.:j I au a,12 a131 Q,21 {lzi az3 fl?jt a?j2 a~,.,

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42 esdd'50iy~~j 3o»~~.>OJ., X Stl'6'n~6~cn.lneJamL 6~n1.an.1hn 6:lhllncnJ. f (X-) ~.). B~) ~,6;V'n33L a, o~h~oc'an an3.s&'n~mm 0-nu ~en ao0136j(ffl3.3~n Cls~nS!lL t1.0':r61u'ol~o n~j~ns6' ~~~3~cf6n a. &'anl9nc'an0'. jm~nl, Ol:Jnth.1c1nt. d6colh (L ej X l>~otfnc~a~, ~mml nsn.!i~:jaj., nt..jmn c. 6~f\{jncn, nma f(x)- t (a.) -.J?'( C.) usnes6'ju' 8 (X)-~ (d) - 3' (C) J.J?(X' :: flcc). 8GX> S'(c) 5n6sneJ6' C 8mmJ~I.Jj~~cnJ a. e J X lf.:jhtj11~1,~ '3mn 01.1 JJn~ma ' ltbl8l.j C-+ a. hmtt" ~~a. sandlma 006'J 9mcman11 bj~~c:lajcq,~ I(}!Ja?JOdCOJ ~~8'~hm9J lim -tcxj_ X-+a lim t'(c) 8 (:):,) - ~a. a I (C) asanja, lim t'cc> nan3~", nju' lim.p'o:>.!j.n. lim fc:r1 _lim -f'c:r>. C_.(L 3' (c) x~a. S'CXJ x~a 3(;r) - :r~a. ~'CX> 'a~6'n1~6'j. am!f3joncn mjmn~<lj ~b~~mej.2_ t9njnjj as~%t1'~h.1(ma9ju JJ.,lcM?l.'J 0)30\h~aJ ujasholcnj6'nj.ee LJ>nln1.. aj6':j~.c'~n~cm~~~nl,oj.?ioujii 00 ~:lo!nmhnu '!Jmha~(!'IIJ Ol:lmn.1dJ. 'CDd!»J(1), -i?cx) '!~cs-;fij'n.)u a, &'.1hl9ncnl. hjna~ anejam1n ajj-riolnj l::sham!l~~(~~o n, haa.saej -R.rtll~nm a.rt:~n6', J3 3oeJ8mL o:j3nt.an~hn f)c o.lh&>ncnlj- ~1, amnj~1,6'~~j ~ es X 6':Jh8>nc~i(. 'amhn~ d~~~jhj nl.:lc110 c ojl\t:9ncn. hmacnld13nljl1 PI( pllf. P (h-tl( 1'\-i t>(h) h - -Cx.)=t(CL)+ ~(X-ct)+ I.J!!:l(x-~l+ + T <tl(x-a.) + L cc)(x-<l). (i). ~! 2! (h-1) ~ h! esalbnttj~j. 3$\'?,nbncmO'I nl.1atn J.l hnu'b?!n' hm4::jcn0' 3JoOUJ<IJQ!21n~~J <9m""~neJ5'.f'rn' P'l( _ (n-4) th J1 n C:t:.) =.f(ll)+ ~ (x-a.)+ ~(x-a.)\.. + T (aj(x-ct) -t-' --(x-tl). (2) i! 2! (h-f)! h! R~~ ~6'eJ ojr~6'mtb, hma ll es OC ~mhnl Jn(.,~~gt. nl.jmn C O'~c9ncn' htnc1cnl- (1)~1JJU' f Cn)( C) : Jt...r3nwOJ5nL e.saj 30 :tlnnmci'\ X. tl'jnd'ncn e.r 3J63nbnan 91-1:, J n- z,~a~6'l9nv 1:Jae~an e.sabash~ ~c:rei'.:tt.rnj Cn - i'ci 2 ~ t -tt-e) h-i JJ.., h \D(t.)= P(t)+ (x-t)+ T Ct 1 cx-t)~... + (x-t) + - (x-t). (3) 1 r i! 2! (n-t)~ n! C?) t.fmcmic\~so -R.J6'l.J, hma..p(x):: f (X), brncm ( ~) ej (2) &mcm~j~nej~ ~en :I 6~(fll ~01., hma..p (CL) = -?Cx). a.l~jujejjj, '-f>[q):..p(x) asn e.j.rdnw, lfbjet~j,.p(i) ~"6'i0'4lJ ll~as" OJnam.:~~sen "a 'a~c.1elb~' hm&ng amcm.:~~nj ~ t<j X sc1ot9ma, hmcou Ol.1tnl\3c30L a>j6'jbcije, {L es X ~""""" n.rnu6~~l. 11Wmn C. ' hma f 1 (C.)=O asansa Qll (-c) r f' "'Cil 2 f"ct.j J f'c-~:) =.f'ctl+[\! (x--1:)- -f'ct~ + L 2! (x--1:)- it (x-t) f t(t\l(t 1 (X-t)h-~. fcn-f>(t) (X-l:)h-:l_ JL (x--f:) (n-.i) l ~-i1 ~ (h-l) ~ J (h-1)! ~<9~ 'atlljj3-r~ooj, nma ua t9fyicfl\'ao!j &h~~j ab..snybn ~a.3c t;'j3hn ajmntl~~oj as/x!?..)

43

44

45

46

47 1..,6 m~mhlaj en~ (X4, ~(Xo)).rML hj'na:j ~".rcjetb!l l.p.lam:l~eo.poo ~~6';tllnnL onj~~nl. a.re.s<!'~~1\l lf2hl9ncn 8.rlin6' -F 11 C Xo) ~ sh c$1\~!mi 1, 1.s~ - 11 CXo) =D. esac90nty3l!j 3na~cnLb8mm, &o.s'altnje, hm9 Xo -ot. astw'b6"0 3.J? (X).rJih'&fJdnctlJ, a~'5~~n~ ~n -R~Jt 6.1-:Jncn 3.fdn6", ~-nl ~.rfut~6"n;.p'{x) n~~j JJutbht!;'!_O 1 2Jht36J\3 ~n- ~~c~&j~..~anema.p 1 (a:l ~.f'c:ro) I hnut" X<: Xo ej -t'c~ :1/ f'(~ J, hcftu'j X/3:0. b.. o.!f3~(j ~~W33~J~0 f I [X)// fl(~. jl ~n na.~l 6'n~6J~f..., nfh3!ro ~n\sf'g> -V'(re) ~"6'-ltfnrt 3rt01l3':18i)L 5';Mncn. ~cl.sl tn3tnh]jnl d.sc.nrn ejj.sub6nm~ hma f"(xo) Jb Jh JhlJ&ll~t,.. cl6' - ''C~o) =0. 'adq'\'a?jg'j f 11 [Xe~) =0 SML ~u'na~<ti 1 a.reh.la sh" Lrs~aJ"OLf\ Jnhm~J 11dnlu~3nt. 1 krna Ci..o\ ~(~o)) 11:10\1, ~00 ~'16'J'IfnnL an.~~mn[., a.rej(.""fl" o'a}\tfncn. ajoj(j)cnje 'l.f.cx): xlr ~"j{;':fiynn~3nl -~ 11 Co) =0, a.s?jnja 11'4 'S1~mmL ahj~n~l, ase.rtn-~~1\l- ti'.1hc!'ncn sh 21J.J.R6'nJ I h.te3j6" n2lr\ -R~6'.1::tf\Cf\v 3cn.1ci.J OI.J?InL Mt~l!'~hnu.ThJ~o. 6~SC"3~L rak CliL. Sht.~~ll\~01, lj.r~aji\of... J'Mmb.rl.. njcnj ~jdejan Ol~mh~ a J. ~.P"(X.) -L Xo -(l(, [JbaJeJf...b?>J 3b.sML J':f%' a...'4n6" C'Xo 1 (;;rol) shnl ~{X.) ~~~1u'nn& ahj~n~nl a.re.r~~n1.. aahrj~cn. ~ L cn..1rht\~3j '-a~s{il\e a1c1ma en6".,tl~l'l~t, a.resmi'~nl. h'ah&ncm. ao6ld~t"3hj~ i; tal 1-.s.rdo\lt,6':> -.mcm~j Rill 'llmcm~nl. 'a~wb:j~ ijaoun~,a 9~no'J~~cn ~f'l\1\.l Ol3~n:JcmeJ~. l:t!l':r~;to'nnl.r ohs'901f\!..rlndj cfmf Sltna.1L9mf9Q. t bh~!il 36'meliJ ~(Xl ~':16'Nnni, ~hs'!n~nl.n.,naj't!m~n, ~~ ~.r6;1ncn.:bt1 ~~~'t~~-tlfll)!~~,, e'hll~~tf'jt r-a~j ~lli~anc! JLfnM'jAJ, hii\d'j :II, b'~hcpocn ~LIJ~':Jcme 'jt: lltn ~(.X.)=- ro fi X-')G.- l3ml\ea~s ~he06'j!yiru Wau3au. ".rhl~~!l Olhn I.JsbnL.r!JnJjtfO\fJO :?l3#lc9n~~l\o e.r esbnncn. 3.:1n 9M~.7c:thn.rL,n3]cPmifhl) 3::.-::. Q.. l.jj'bnt- tl'n~~, en~ t..h~ce~~" aholn &n6'u' 'djjejao c.pmcm~jo'ijaj6'n: lim C.X):: CO 1 X4~-! 0. : -r:-,.-~-~ : X I t9.s!:hm.!.'n ~GM.1lfro!lh!J a.se~.jcjl Jd3u l.j.lb:l 'j = 1\.x+~. R335n Jrfb,jfiO.\ 3o3m.3m01 K ~J -B.>.!?laCMJ!lfbJ'3'0 OC.~- CJO.16 X._,.."\" oo 3ut:lcm~.> 0\ht\~~ ~t}o'ib;~~t.~'<lf\ an7l<un"nj, r;3n 9ma ~S~~{)~Cn\01 3h0\-:I"O\O t 3J'~Cn0\J e X~-t- c0. '} }l.-\'1-i-\\ ~ t t<r.y-;c~ / ~~- 0 ' ---+_...,.., ;.. X ~ os6t~j~<.!'~hl~ne.s6 ~.s3<'1\j~ot.jh:l lim Jl...J{' = 0. J"(;ncn ~lj.fdil.6j:,()j, r.ma ;3.1"'.to~ :X:-++oo lim JJ./r~-=-o. a~a J.L.K-::.u.&-K'Q.::. -?ex~)- (Kx.+-2). 'J n. llrn Cf b:.)-k.x--~)-:::o. X.-++oo r~.ft-:c)-k~-~ (~<$.) -R x~~ d'nm':!d :JL"aL.1m -- - =. o, o6\!1 h'm - -K- -)::::: 0 s::f":: 'JG,, cnn a.r::3 0 _ :X:::.~-\'00 tc. OC.~+C;O 0C. X. 1 m~'>cntj)n6':..1ml' hma x.~ -&- -::o, 3n'!lo c- :1 bo'i K -u ~..~(10\L.>oJ 3c::l c ~"a'.l C""L k:: lim {!(~). :t.-to+oo X ajl ~~a-eaa, h.jci. K: ~j~j 6'-'J'tn36"nJ, Jfm {_ fi!x:j -Kn:--R) =o c.s>mcm~nej<i 3nJ'm- 0 ~~~~ ~ 't:l -luu' -B:lim ( ~(~)- K:t). ~ ~~ToO :!0\M~IfJ(llhn.r!Ala3~ 9n #<h2p\&!!a;~6l esbhncnl "l ~~hj(l\ ~<1<nb3~JlJ 1 htndj ~-::r(j.

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67 veqtorebi veqtori, veqtorta Sekreba da ricxvze gamravleba arseboben obieqtebi, romlebsac garda sididisa aqvt mimartulebac. aset obieqts veqtors uwodeben. veqtoria, magalitad, sicqare, acqareba, Zala da sxva. G geometriulad veqtori mimartulebis mqone monakvetit gamoisaxeba. A a B naxazze gamosaxuli a Caiweros a AB. veqtori SeiZleba asec A-s AB veqtoris sawyisi wertili hqvia, B-s - bolo wertili. veqtoris sawyis wertils am veqtoris modebis wertilsac uwodeben. veqtoris sawyis da bolo wertils Soris manzils veqtoris sigrze ewodeba. a veqtoris sigrze a simboloti arinisneba. O or veqtors ewodeba toli, Tu mat ertnairi aqvt rogorc sigrze, ise mimartuleba. A am gansazrvrebidan gamomdinareobs, rom Cven saqme gvaqvs e.w. Tavisufal veqtoreb- Tan. Ee.i. Tu veqtors gadavitant Tavisi Tavis paralelurad da movdebt sxva wertil- Si, mivirebt mocemulis tol veqtors. veqtors, romelsac aqvs igive sigrze, rac a veqtors, mimartuleba ki sapirispiro, a veqtoris mopirdapire veqtori hqvia da igi a CanaweriT arinisneba. veqtors, romlis sigrze nulis tolia, nulovani ewodeba. Nnulovani veqtoris mimartuleba araa gansazrvruli mis mimartulebad SegviZlia CavTvaloT nebismieri mimartuleba. AB da BC veqtorebis jami ganisazrvreba e.w. samkutxedis wesit. im SemTxvevaSi, roca veqtorebi ertsa da imave wertilsia modebuli, mati Sekreba moxerxebulia e.w. paralelogramis wesit(ix.naxazebi). B C C D A AB BC AC A B AB BC AD veqtorta Sekrebis samkutxedis wesi veqtorta Sekrebis paralelogramis wesi roca veqtorebi arcerti am saxit araa mocemuli, paraleleluri gadatanit mat miviyvant an ert an meore SemTxvevamde. 1

68 aseve,asivrcis SemTxvevaSi, sami, ert sibrtyesi aramdebare, ert wertilsi modebuli veqtorebis Sekreba SeiZleba e.w. paralelepipedis wesit: AB AC AD AE sivrcis sami veqtoris Sekrebis paralelepipedis wesi Ee.i. mocemuli sami veqtoris jami aris imave wertilsi modebuli paralelepipedis diagonalit gamosaxuli veqtori. k Nnamdvili ricxvisa da a veqtoris namravli ganisazrvreba Semdegnairad: ka veqtori aris is veqtori, romlis sigrzea ka da romelsac aqvs a veqtoris mimartuleba, Tu k 0 da aqvs a veqtoris sapirispiro mimartuleba, Tu k 0. a da b veqtorebis sxvaoba SegviZlia ganvsazrvrot Semdegnairad: a b a b. Aar aris Zneli imis Semowmeba, rom veqtorebze Semotanil am operaciebs aqvt Semdegi Tvisebebi: 1. a b b a 2. ( a b) c a ( b c) 3. a0 a 4. a ( a) 0 5. k1( k2a) k1k2 a 6. 1a a 7. 1 a a 8. 0a 0 9. k1 k2 a k1a k2a k a b ka kb 10. ori veqtoris skalaruli namravli gansazrvreba. ori veqtoris skalaruli namravli ewodeba mati sigrzeebis namravls am veqtorebs Soris kutxis kosinusze. a Dda b veqtorebis skalaruli namravli arinisneba a b simboloti. 2

69 Aam gansazrvrebis Tanaxmad a b a b cos, sadac ( ab, ). skalarul namravls aqvs Semdegi ZiriTadi Tvisebebi: 1. aa0 da aa 0 2. a b b a 3. ( ka) b k a b 4. k( a b) ka kb masin da mxolod masin, roca a 0 N masasadame 0 cos0 1 tolobis gatvaliswinebit SegviZl;ia davwerot 2 a a a a cos0 a, a a a. veqtoris koordinatebi rogorc vicit, ricxvit RerZze mdebare yovel wertils Sesabameba ertaderti namdvili ricxvi, romelsac am wertilis koordinati ewodeba. RerZze(ricxviT RerZze) aramdebare wertilis koordinati ewodeba am werilidan am RerZze dasvebuli martobis fuzis koordinats. gansazrvreba. veqtoris koordinati RerZze ewodeba misi bolo da sawyis wertilta koordinatebis sxvaobas. vtqvat, raime RerZze A wertilis koordinatia x 1, B wertilisa ki x 2 (ix. naxazi), masin, am gansazrvrebis Tanaxmad, AB veqtoris koordinati am RerZze iqneba 2 1 AB veqtoris koordinatia x 2 x1 SeniSvna. Nnaxazze mocemuli martobebi araa paralelurad gamosaxuli, radgan sivrcesi erti da imave wrfis martobuli ori wrfe SeiZleba ar iyos urtiertparaleluri. 3

70 paraleluri gadatanis dros yvela wertilis koordinati raime RerZze erti da imave ricxvit icvleba, amitom veqtoris koordinati RerZze ar aris damokidebuli imaze, Tu romel wertilsia modebuli is. veqtors ewodeba erteulovani, Tu misi sigrze 1-is tolia. erteulovan veqtors, romelsac RerZis mimartuleba aqvs, am RerZis mimmartveli veqtori anu mgezavi ewodeba(xsirad mgezavs ortsac uwodeben). l RerZis mgezavi e l -it arvnisnot. vtqvat, A da B wertilebidan l RerZze dasvebuli martobebis fuzeebia A 1 da B 1, Sesabamisad. AB 1 1 veqtors ewodeba l RerZze AB veqtoris mdgeneli. Aadvili SesamCnevia, rom A B xe 1 1 l sadac x aris AB -s koordinati l RerZze, e i ki am RerZis mgezavia. A amrigad, veqtoris mdgeneli RerZze udris am RerZze misi koordinatisa da RerZis mgezavis namravls. vtqvat, sivrcesi mocemulia OXYZ dekartes martkutxa koordinatta sistema. OX, OY da OZ RerZebis mgezavebi, Sesabamisad, i, j da k -Ti arvnisnot. is faqti, rom a veqtoris koordinatebi, OX, OY da OZ RerZebze aris a 1, a 2 da a 3,Sesabamisad, CavweroT Semdegnairad Aan ase samartliania Semdegi Teorema. Tu a a ; a ; a mgezavebis mixedvit, Semdegnairad a a ; a ; a, a a a ; a ; a , masin a veqtori isleba, sakoordinato RerZebis a a i a j a k D damtkiceba. movdot a veqtori koordinatta satavesi. avagot iseti martkutxa paralelepipedi, romlis diagonalia a da romlis wiboebi sakoordinato RerZebze mdebareoben(ix. naxazi). 4

71 veqtorta Sekrebis paralelepipedis wesis Tanaxmad a OA OB OC. magram, advili SesamCnevia, rom OA aris a veqtoris mdgeneli OX RerZze, amitom OA a i. 1 Aanalogiurad, OA a2 j da OA a k. 3. MmaSasadame, a a i a j a k Teorema damtkicebulia. Ooperaciebi koordinatebit mocemul veqtorebze advili sacvenebelia, rom Tu mocemulia a a ; a ; a da b b ; b ; b agretve raime k namdvili ricxvi, masin a b a b ; a b ; a b, 1) e.i. veqtorta Sekrebisas ikribeba Sesabamisi koordinatebi, ka ka ; ka ; ka, 2) veqtorebi, masasadame, veqtoris ricxvze gamravlebisas, veqtoris TiToeuli koordinati mravldeba am ricxvze. samartliania agretve Semdegi a a ; a ; a b b ; b ; b, masin a da b veqtorebis skalaruli Teorema. Tu namravli gamoitvleba formulit da a b a b a b a b damtkiceba. davsalot mocemuli veqtorebi sakoordinato RerZebis mgezavebis mixedvit a a i a j a k, b b i b j b k masin gveqneba a b ( a i a j a k )( b i b j b k ) skalaruli namravlis Tvisebebis gatvaliwinebit SegviZlia davwerot radgan i a b a b ii a b jj a b kk a b ij a b ik a b ji a b jk a b ki a b kj , j da k erteulovani veqtorebia, amitom skalaruli namravlis gansazrvrebidan gamomdinare ii jj kk cos0 1, (1) (2) 5

72 xolo radgan isini utiertmartobulia, gveqneba 0 ij ji ik ki jk kj 11cos90 0, (3) (1), (2) da (3) tolobebidan mivirebt Teorema damtkicebulia. a b a b a b a b damtkicebuli formulidan SegviZlia mivirot veqtoris sigrzis gamosatvleli formula a a a a a a a a a a 2 a 2 a , sadac a 1, a 2, a 3 aris a -s koordinatebi. ori veqtoris skalaruli namravlis gansazrvrebidan ab cos. ab aqedan da zemotdadgenili formulebidan mivirebt koordinatebit mocemul veqtorebs Soris kutxis gamosatvlel Semdeg formulas a b a b a b cos, a1 a2 a3 b1 b2 b3 sadac a 1, a 2, a 3 aris a -s koordinatebi, xolo b 1, b 2, b 3 aris b -si. 6

73 n ganzomilebiani veqtorebi, veqtorta wrfivad damoukidebloba, bazisi tolobas a a ; a ; a safuzvlad udeben e.w. n ganzomilebiani veqtoris gansazrvrebas. gansazrvreba. n ganzomilebiani a veqtori ewodeba namdvil ricxvta dalagebul n euls: a1; a2;..; a n. a1; a2;...; an ricxvebs a veqtoris koordinatebi ewodeba. es faqti ase CavweroT a a1; a2;..; an an ase a a a1; a2;..; a n. n -ganzomilebian veqtorta Sekreba da ricxvze gamravleba ganvsazrvrot Semdegnairad: a1 a2 an b1 b2 bn a1 b1 a2 b2 an bn k a ; a ;..; a ka ; ka ;..; ka. ; ;..; ; ;..; ; ;..;, 1 2 n 1 2 n -ganzomilebian veqtorta simravles, romelsic veqtorta Sekrebisa da ricxvze gamravlebis operaciebi gansazrvrulia am wesebit, ewodeba veqtoruli sivrce. gansazrvreba. veqtors k1a 1 k2a2... kmam, sadac k 1, k 2,..., k m nebismieri namdvili ricxvebia, vuwodot a 1 ; a 2 ;..; an veqtorebis wrfivi kombinacia. gansazrvre ba.veqtorta ertobliobas vuwodot wfivad damokidebuli, Tu erterti matgani warmoadgens danarcenta wrfiv kombinacias. Tu veqtorta ertoblioba araa wrfivad damokidebuli, masin mas wrfivad damoukidebeli ewodeba. cxadia, Tu veqtorta ertobliobis romelime wevri nulovania, masin es ertoblioba wrfivad damokidebulia. sainteresoa Semdegi Teorema.vTqvaT, mocemulia veqtorebi: a1 a11 ; a12 ;..; a1 n a2 a21; a22;..; a2n.. a a ; a ;..; a. m m1 m2 mn am veqtorebs Soris wrfivad damoukidebel veqtorta maqsimaluri raodenoba udris mati koordinatebisagan Sedgenili matricis rangs. a11; a12;..; a1n a ; a ;..; a... a ; a ;..; a n m1 m2 mn n 7

74 gansazrvreba. veqtorta wrfivad damoukidebel ertobliobas ewodeba sivrcis bazisi, Tu am sivrcis nebismieri veqtori warmoidgineba arnisnuli ertobliobis wrfivi kombinaciis saxit. Aadvili SesamCnevia, rom n ganzomilebian veqtorta sivrcesi Semdegi veqtorebi qmnian baziss: e1 1;0;..;0, e2 0;1;..;0,.. e 0;0;..;1. n martlac, cxadia, rom arcerti matgani ar warmoadgens danarcenta wrfiv kombinacias magalitad,seuzlebelia e 1 iyos danarcenebis wrfivi kombinacia, vinaidan yoveli asetikombinaciis pirveli koordinatia 0, masin roca e 1 -is pirveli koordinati aris 1. e.i. veqtorta es e 1, e 2,..., e ertoblioba wrfivad damoukidebelia. n meores mxriv, nebismieri a a1; a2;..; an veqtori warmoidgineba mati wrfivi kombinaciis saxit. martlac ( a ; a ;..; a ) a 1;0;..;0 1 2 n 1 a 2 0;1;..;0 a n 0;0;..;1, Aanu, a a1e 1 a2e 2.. ane n. A SevniSnoT, rom samganzomilebian veqtorul sivrcesi baziss qmnis sakoordinato i 1;0;0, j 0;1;0, k 0;0;1. RerZebis mgezavebi: A 8

75 wrfe sibrtyeze manzili or wertils Soris Teorema. manzili sibrtyis A( x1; y 1) da B( x2; y 2) wertilebs Soris gamoitvleba formulit A damtkiceba. A x x 1; 2 B x y 2; 2 x 1 x AB x x y y ABC martkutxa sankutxedidan, pitagoras Teoremis Tanaxmad, C Y y 2 O y AB AC BC. B( x2; y2; z 2) wertilebs Soris gamoitvleba formulit X magram AC x1 x2 da BC y1 y2. amitom AB x x y y x x y y. Teorema damtkicebulia. SeniSvna.AmarTkuTxa paralelepipedis diagonalis Tvisebis gamoyenebit aseve martivad damtkicdeba, rom sivrcesi manzili A( x1; y1; z 1) da AB x x y y z z. monakvetis gayofa mocemuli SefardebiT Teorema. vtqvat, A( x1; y1) da B( x2; y2) wertilebi monakvetis boloebia, xolo 0 mocemuli namdvili ricxvia. masin im C( x; y) wertilis kordinatebi, romelic AB monakvets yofs -SefardebiT, e.i. romlistvisac AC CB 9, gamoitvleba formulebit: x1 x2 y1 y2 x, y 1 1 AC AC 1 1 damtkiceba. proporciuli monaketebis Sesaxeb Teoremis Tanaxmad. CB C1B1 Y magram AC CB da AC 1 1 x x1 Bx. amis gamo 2; y2 C1B1 x2 x C x; y x x1. x x O A x y 1; 1 A 1 C 1 B 1 x 1 x x 2 X 2 Tu aqedan, rogorc gantolebidan, amovxsnit x1 x2 x -s, mivirebt, rom x. 1

76 analogiurad damtkicdeba meore formulac. Teorema damtkicebulia. SeniSvna. asetive formulebi samartliania sivrcis wertilta SemTxvevaSic, magram daemateba kidev erti Fformula z1 z2 z. 1 SeniSvna. rodesac C wertili AB monakvetis Suawertilia, masin, cxadia, 1. amis gatvaliswinebit damtkicebuli formulebian mivirebt monakvetis Suawerti-lis koordinatebis gamosatvlel formulebs: x x x , y y y z1 z2, z. 2 2 wrfis gantoleba kutxuri koeficientit gansazrvreba. sibrtyeze mdebare raime wiris gantoleba ewodeba iset orcvladian gantolebas, romelsac akmayofileben mxolod am wiris wertilta koordinatebi. Teorema. im wrfis gantolebas, romelic abscisata RerZis dadebit mimartulebastan qmnis kutxes da romelic ordinatta RerZs kvets 0;b wertilsi, aqvs saxe sadac k y kx b (1) tg da mas ewodeba mocemuli wrfis kutxuri koeficienti. damtkiceba. avirot mocemul wrfeze nebismieri M( x; y ) wertili da vacvenot, rom misi koordinatebi aknayofilebs (1) gantolebas. A Y B α O M x; y y b C x X AMC -dan y AM tg AO OC tg AO tg xtg. magram, ABO -dan AO tg b. masasadame, y b xtg, rac dasamtkicebeli (1) formulaa. Teorema damtkicebulia. 10

77 wrfis zogadi saxis gantoleba gansazrvreba. pirveli rigis orcvladiani gantoleba ewodeba Ax By C 0 (1) saxis gantolebas, sadac x da y cvladebia, A da B ki mocemuli namdvili ricxvebi, 2 2 romeltagan erti mainc gansxvavebulia nulisagan ( e.i. A B 0 ). Teorema. yoveli wrfis gantoleba pirveli rigis orcvladiani gantolebaa da piriqit, yovli pirveli rigis orcvladiani gantoleba wrfis gantolebas warmoadgens. D damtkiceba. Tu wrfe abscista RerZis martobuli araa, masin, rogorc vicit, mis gantolebas aqvs saxe y kx b, anu kx y b 0. cxadia, es gantoleba (1) saxi-saa, sadac A k, B 1 da C b. Tu wrfe abscista RerZis martobulia, masin mis gantolebas aqvs saxe x a, anu xa 0. esec (1) saxisaa, romelsic A 1, B 0 da C a. piriqit, Tu mocemulia (1) saxis gantoleba, romelsic B 0, masin mas SegviZlia mivcet saxe koeficientia A C y x B B. Ees ki iqneba im wrfis gantoleba, romlis kutxuri A C da romelic ordinatta RerZs kvets 0; B B masin A 0 da (1) gantoleba miirebs saxes wertilsi. Tu B 0, C x. es ki, cxadia, im wrfis ganto- A C lebaa, romelic abscista RerZis martobulia da romelic mas ;0 A kvets. Teorema damtkicebulia. wertilsi wrfeta konis gantoleba gansazrvreba. mocemul wertilze gamaval wrfeta ertobliobas am wertilze gamavali wrfeta kona ewodeba. M 0 11

78 Teorema. sibrtyis ; M x y wertilze gamavali wrfeta konis nebismieri wrfis gantolebas, garda abscisata RerZis martobulisa, aqvs saxe 0 0 y y k x x, (1) sadac k namdvili ricxvia. Ddamtkiceba. rogorc vicit, nebismieri wrfis gantoleba, garda abscisata RerZis martobuli wrfisa, SeiZleba Caiweros kutxuri koeficientit y kx b. (2) radgan es wrfe gadis M 0 wertilze, amitom M 0 wertilis kooordinatebi daakmayofilebs am wrfis gantolebas, e.i. y0 kx0 b (3) Tu (2) gantolebas wevr-wevrad gamovaklebt (3)-s, mivirebt dasamtkicebel (1) tolobas. Teorema damtkicebulia. SeniSvna. (1)-s ; M x y wertilze gamavali wrfeta konis gantolebas uwodeben Oor wertilze gamavali wrfis gantoleba Teorema. sibrtyis Ax ; y da ; gantolebas aqvs saxe 1 1 ( x x, y y ) wertilebze gamavali wrfis B x2 y x x1 y y1. (1) x x y y D damtkiceba. radgan AB wrfe ekutvnis wertilze gamaval wrfeta konas, amitom am wrfis gantolebas aqvs saxe A x y 1; 1. B x ; y y y k x x. (2) radgan M 0 wertili Zevs am wrfeze, amitom M 0 werti-lis koordinatebi daakmayofilebs (2) tolobas. e.i y y k x x. (3) Tu (2) tolobas wevr-wevrad gavyoft (3) tolobaze, mivirebt dasamtkicebel (1) tolobas. Teorema damtkicebulia. SeniSvna. roca x 1 x 2, masin, cxadia, AB wrfe abscisata RerZis martobulia da mis gantolebas eqneba saxe x x1. analogiurad, roca y 1 y 2 masin AB wrfe ordinatta RerZis martobulia da mis gantolebas aqvs saxe y y1. 12

79 Y Y O X O X x x 1 y y 1 wrfis gantoleba RerZTa monakvetebsi Teorema. im wrfis gantolebas, romelic abscista RerZs da ordinatta RerZs Sesabamisad po ; da 0; q ( p 0, q 0) wertilebsi kvets, aqvs saxe x y 1. (1) p q damtkiceba. or wertilze gamavali wrfis gantolebis ZaliT Y x p y 0 0 p q0 x y, anu 1, saidanac p q q x y 1. p q O p X Teorema damtkicebulia. (1) -s uwodeben wrfis gantolebas RerZTa monakvetebsi. wrfis normaluri saxis gantoleba gansazrvreba. vtqvat, wrfe ar gadis koordinatta sataveze. am wrfis normali ewodeba koordinatta satavidn masze dasvebul martobs. Teorema. vtqvat wrfe ar gadis koordinatta sataveze. Tu misi normalis sigrzea ^ n da es normali abscisata RerZis dadebit mimartulebastan qmnis sididis kutxes, masin am wrfis gantolebas aqvs saxe 13

80 xcos ysin n 0 (1) damtkiceba. damtkiceba moviyvanot im SemTxvevisaTvis, roca mocemuli wrfe ar aris paraleluri arcerti sakoordinato RerZis. x y RerZTa monakvetebsi wrfis gantolebis ZaliT 1. naxazidan p q Y O q n n n Cans, rom p da q. e.i. cos sin x y 1, n n cos sin saidanac mivirebt tolobas xcos ysin n 0. advili Sesamowmebelia, rom Teorema samartliania im SemTxvevaSic, rodesac wrfe ert-erti sakoordinato RerZis paraleluria. Teorema damtkicebulia. p X (1) -s wrfis normaluri saxis gantoleba ewodeba. wrfis zogadi saxis gantolebis dayvana normalurze Teorema. Tu wrfis zogadi saxis gantolebaa Ax By C 0, masin amave wrfis normaluri saxis gantoleba iqneba A B C x y 0, (1) A B A B A B sadac radikalis win nisani aireba C koeficientis nisnis sapirispiro. damtkiceba. vtqvat, mocemuli wrfis normaluri saxis gantolebaa xcos ysin n 0. advili misaxvedria, rom erti da imave wrfis sxvadasxva gantolebebis koeficientebi proporciulia, amitom iarsebebs iseti ricxvi, rom cos A, sin B, n C. (2) aqedan, pirveli ori tolobis orive mxaris kvadratsi ayvanita da wevr-wevrad Sekrebis Sedegad mivirebt cos 2 sin 2 2 A 2 B 2, anu 2 A 2 B aqedan A B Tu ^ -s am mnisvnelobas SevitanT (2) tolobebsi da sin, cos da ( n) -is mire-bul mnisvnelobebs CavsvamT xcos ysin n 0 gantolebasi, mivirebt saziebel (1) gantolebas. dagvrca SevniSnoT, rom ricxvs aqvs C koeficientis sapirispiro nisani radganac C n 0.

81 Teorema damtkicebulia. 1 SeniSvna. ricxvs manormirebel mamravls uwodeben. damtkicebuli 2 2 A B Teoremidan vrebulobt, rom wrfis zogado saxis gantolebis normalur saxeze dasayvanad sakmarisia zogadi saxis gantolebis yvela koeficienti gavamravlot manormirebel mamravlze. manzili wertilidan wrfemde Teorema. manzili ; M x y wertilidan im wrfemde, romlis normaluri saxis 0 0 gantolebaa xcos ysin n 0, gamoitvleba formulit d x cos y sin n (1) 0 0 damtkiceba. mocemuli wrfe arvnisnot l 1 -it. radgan am wrfis normalia ON, amitom ON n. M wertilze gavavlot l 1 -is paraleluri l 2 wrfe da l 2 -is normalis sigrze arvnisnot m -it. cxadia, rom Y O N K d 15 d m n (2) l 2 wrfis AK normali abscisata RerZis dadebit mimartulebastan Seqmnis imave sidi-dis kutxes, rasac qmnis l 1. amis gamo l2 -is gan-tolebas eqneba saxe xcos ysin m 0. radgan M wertili Zevs l 2 wrfeze, amitom M - is koordinatebi daakmayofileben l 2 -is gantolebas. amitom x 0 cos y 0 sin m 0. aqedan ki m x cos y sin. 0 0 Tu m -is am mnisvnelobas SevitanT (2) tolobasi, mivirebt dasamtkicebel (1) to-lobas Teorema damtkicebulia. M x ; y l SeniSvna. manzili ; l d x cos y sin n. 0 0 gantolebaa Ax By C 0, gamoitvleba formulit X M x y wertilidan im wrfemde, romlis zogadi saxis d Ax By C A B am formulis misarebad sakmarisia wrfis zogadi saxis gantoleba daviyvanot normalur saxeze da Semdeg visargeblot (1) formulit..

82 kutxe or wrfes Soris. wrfeta paralelurobisa da martobulobis pirobebi Teorema. kutxe im wrfeebs Soris, romelta kutxuri koeficientebia, Sesabamisad, k 1 da k 2, gamoitvleba formulit tg k 1 k kk 1 2. (1) 1 2 damtkiceba. gansazrvrebis Tanaxmad, or wrfes Soris kutxe mati gadakvetisas mirebuli otxi kutxidan umciresis sididea, amitom Y an. samkutxedis gare kutxis Tvisebis gatvaliswinebit davaskvnit, rom 12 an (180 ) yvela SemTxvevaSi tg tg. aqedan, Tu 1 2 gavitvaliswinebt, rom tg 0 da gamoviyenebt ori argumentis sxvaobis tangensis cnobil formulas, mivirebt tg Teorema damtkicebulia. tg tg 1 tg tg , anu tg 1 2 k k. 1 kk cxadia, ori wrfe paraleluria masin da mxolod masin, roca 1 2. e.i. rodesac tg1 tg2, anu roca O 1 2 k k. 1 2 es toloba warmoadgens ori wrfis paralelurobis pirobas. ori wrfe martobulia, roca X 0 90, e.i. roca tg ar arsebobs. (1) formulidan Cans, rom es moxdeba masin, roca 1 tg1 tg2 0, anu rodesac k k es toloba warmoadgens ori wrfis martobulobis pirobas

83 კონსპექტი შეივსო დაპირებული ნაწილებით: ვექტორები წრფე სიბრტყეზე ეს ნაწილები ელექტრონულ ფაილში შეადგენს გვერდებს ვისაც ამობეჭდილი ქონდა კონსპექტის წინა ვერსია (2 ნოემრამდე, 2011წ), მან უნდა ამობეჭდოს ეს გვერდები და ჩართოს მე-19 გვერდის შემდეგ.